تصور کنید ابزاری ساخته شود که سرعت محاسبات را هزاران برابر می‌کند، اما برای اجرا به حافظه‌ای نیاز دارد که از کل ماده‌ی موجود در جهان قابل‌تصور بیشتر است. این دقیقاً همان وضعیتی است که اکنون پیرامون ادعای جدید OpenAI در زمینه ریاضیات محاسباتی شکل گرفته است. یک «پیشرفت» در ریاضیات محاسباتی از سوی OpenAI ممکن است چیزی بیش از یک کنجکاوی تئوریک با کاربرد عملی صفر نباشد. این شرکت مدعی شده است که راهی برای محاسبه تبدیل فوریه سریع‌تر از استاندارد صنعتی یعنی تبدیل فوریه سریع (FFT) یافته است، اما واقعیت این است که این افزایش سرعت تنها در مقیاس‌هایی رخ می‌دهد که با واقعیت فیزیکی در تضاد است.
برای درک اهمیت این موضوع، باید ابتدا با FFT آشنا شویم. تبدیل فوریه ابزاری بنیادی در پردازش سیگنال‌های دیجیتال است که برای استخراج محتوای فرکانسی سیگنال‌ها به کار می‌رود. این ابزار به مهندسان اجازه می‌دهد تا فرکانس‌ها را در باندهای مختلف طیف تحلیل، فیلتر و دست‌کاری کنند.
در هسته خود، این تبدیل انرژی هر باند فرکانسی را با استفاده از یک ضرب داخلی ساده محاسبه می‌کند. اگر $x$ یک آرایه ورودی از $n$ نمونه و $f$ یک فرکانس باشد، محتوای موجود در $f$ از طریق این ضرب به دست می‌آید. برای سیگنال‌های دیجیتال، شما تنها به محاسبه $n$ مورد از این ضرب‌های داخلی نیاز دارید — یکی برای هر مضرب از فرکانس $2\pi/n$ — تا محتوای کامل فرکانسی را درک کنید.
از سال ۱۹۶۵، الگوریتم کولی-توکی (Cooley-Tukey) به مهندسان اجازه داده است این کار را با کارایی خیره‌کننده‌ای انجام دهند. یک رویکرد ساده (Naive) به $n$ ضرب و جمع برای هر فرکانس نیاز دارد که در مجموع به $n^2$ عملیات حسابی منجر می‌شود. اما FFT یک رویه بازگشتی است که بردار ورودی را جابجا کرده، دو تبدیل فوریه به طول $n/2$ را محاسبه می‌کند و سپس آن‌ها را با استفاده از عملیات حسابی اتمی دوباره ترکیب می‌کند. این فرآیند $\log_2(n)$ بار تکرار می‌شود.
برای سیگنالی به طول $n$، الگوریتم FFT بار کاری را به کمتر از $5n \log_2 n$ عملیات کاهش می‌دهد. همان‌طور که در تحلیل‌های قبلی ما درباره‌ی بهینه‌سازی‌های سخت‌افزاری اشاره کردیم، کاهش پیچیدگی محاسباتی تنها زمانی ارزشمند است که در دنیای واقعی قابل اجرا باشد. تأثیر عملی این کاهش بار کاری عظیم است:
- وقتی $n = ۱,۰۰۰$ باشد، $n^2$ برابر با ۱,۰۰۰,۰۰۰ است، در حالی که $5n \log n$ تقریباً ۵۰,۰۰۰ است (۲۰ برابر سریع‌تر).
- وقتی $n = ۱,۰۰۰,۰۰۰$ باشد، این سرعت به ۱۰,۰۰۰ برابر می‌رسد.
این تفاوت دلیل اصلی این است که پردازش سیگنال‌های دیجیتال مدرن امکان‌پذیر شده است؛ بدون آن، بسیاری از تبدیل‌ها با توجه به محدودیت‌های کاربردهای دنیای واقعی، غیرقابل محاسبه می‌بودند.
در ۱۳ اکتبر ۲۰۲۶، OpenAI در مجموعه‌ای عظیم از مقالات ریاضی که منتشر کرد، سندی با عنوان "main.pdf" را ارائه داد که در آن مدعی جایگزینی سریع‌تر برای FFT شده است. نویسندگان مقاله پیشنهاد می‌کنند که عبارت $\log(n)$ در این روش تئوریک، کوچک‌تر از FFT استاندارد است.
بر روی کاغذ، این الگوریتم از نظر مجانبی سریع‌تر است؛ یعنی وقتی $n$ به سمت بی‌نهایت می‌رود، در نهایت FFT را شکست می‌دهد. اما در واقعیت، «ثابت‌های پنهان» این ادعا را بی‌ارزش می‌کنند. نتیجه این پژوهش کمتر شبیه به یک پیشرفت فنی است و بیشتر شبیه به اثر جانبی فرمالیسم‌های ریاضی است که از واقعیت فاصله گرفته‌اند.
جنجال اصلی بر سر سوءاستفاده از نماد «O بزرگ» (Big-O Notation) است. در علوم کامپیوتر تئوریک، می‌گوییم $T(n) = O(F(n))$ اگر عدد صحیح $N$ و ثابتی مانند $C$ وجود داشته باشد به طوری که تعداد گام‌ها برای تمام $n > N$ توسط $C \times F(n)$ محدود شود. این نماد بر نرخ رشد مجانبی تمرکز دارد، به این معنی که تمام ثابت‌ها معادل فرض می‌شوند.
در حالی که این نماد برای میان‌برهای محاسباتی مفید است، اما اجازه می‌دهد تا تنبلی‌های منطقی عجیبی رخ دهد. یک FFT واقعاً سریع‌تر باید برای اندازه‌های معقول $n$، عملیات کمتری (مثلاً کمتر از $50n$) داشته باشد. اما $O(n)$ لزوماً به معنای $50n$ نیست؛ بلکه می‌تواند به معنای $10^{80}n$ باشد.
در اینجا با مفهوم الگوریتم‌های کهکشانی (Galactic Algorithms) روبرو هستیم. این اصطلاح که توسط ریچارد لیپتون و کن ریگان ابداع شد، توصیف‌گر الگوریتم‌هایی است که تئوریک برترند اما برای اجرا به ورودی‌هایی چنان عظیم نیاز دارند که هرگز روی یک کامپیوتر فیزیکی قابل اجرا نیستند. الگوریتمی که تنها زمانی خطی می‌شود که $n > 10^{80}$ باشد (تقریباً تعداد اتم‌های جهان شناخته‌شده)، همچنان از نظر تئوریک «زمانی خطی» محسوب می‌شود.
در مورد FFT جدید OpenAI، ثابت تخمینی $C$ برای $n=10^{12}$ برابر با $10^{100}$ بود. برای مقایسه، حتی اگر سیگنالی با $10^{100}$ نمونه داشتید، FFT سنتی کولی-توکی همچنان $10^{99}$ برابر سریع‌تر بود.
فراتر از ثابت‌ها، نتیجه OpenAI بر مدلی از محاسبات تکیه دارد که وجود خارجی ندارد. این مقاله فرض می‌کند که کامپیوتر می‌تواند «حساب مختلط دقیق» (Exact Complex Arithmetic) را انجام دهد؛ به این معنی که فرض می‌کند یک ماشین می‌تواند اعداد مختلط را با دقت نامحدود در یک عملیات واحد ذخیره و ضرب کند.
در واقعیت، بزرگی اعداد مورد استفاده در این الگوریتم به صورت فوق-چندجمله‌ای (Superpolynomially) با $n$ رشد می‌کند. اگر بخواهید این اعداد را به صورت بیت روی یک ماشین واقعی ذخیره کنید، نیاز به حافظه به صورت نمایی در طول ورودی رشد می‌کند. ما به سادگی سخت‌افزاری برای این نوع محاسبات نداریم.
تلاش برای شکستن سقف سرعت FFT، ادامه زنجیره‌ای از تلاش‌های ناموفق یا محدود است. محدودیت‌های تئوریک مدت‌هاست نشان داده‌اند که FFT نزدیک به حد مطلق سرعت است، زیرا تنها برای نوشتن خروجی به حداقل $n$ عملیات نیاز است.
- در سال ۱۹۷۳، ژاک مورگنسترن ثابت کرد که اگر ضرایب مختلط مورد استفاده در محاسبات دارای اندازه محدود باشند، نمی‌توان از $\frac{1}{2} n \log n$ سریع‌تر بود.
- ۴۰ سال بعد، نیر ایلون نشان داد که بدون مواجهه با ناپایداری‌های عددی شدید، نمی‌توان FFT را سریع‌تر از $n \log n$ محاسبه کرد.
این ادعا بخشی از الگوی گسترده‌تری در خروجی‌های ریاضی اخیر OpenAI است که برخی آن را «مخزن زباله» (Slopository) می‌نامند. نتیجه دیگری در همین مجموعه، الگوریتمی برای ضرب ماتریس با $O(n^{2.25})$ عملیات را ادعا می‌کند، اما ساختار آن چنان انتزاعی است که حتی ثابت پنهان آن را نمی‌توان تخمین زد؛ در واقع این ثابت می‌تواند بی‌نهایت باشد.
منتقدان استدلال می‌کنند که این مقالات نمونه‌هایی از «زباله‌های هوش مصنوعی» (AI Slop) هستند؛ فرمالیسم‌های ریاضی که در آن‌ها «راه حل» صرفاً یک معمای آکادمیک است. این وضعیت بازتاب‌دهنده فرهنگی در علوم کامپیوتر تئوریک است که وجود یک الگوریتم را بر اجرای واقعی آن ترجیح می‌دهد. در کنفرانس‌های معتبری مانند STOC یا FOCS، پذیرفته شده است که ادعای وجود یک الگوریتم شود، بدون اینکه هرگز کدنویسی یا روی کامپیوتر اجرا شود.
اکنون هوش مصنوعی در حال خودکارسازی این گرایش است. با تولید مقالاتی که الزامات فرمال کنفرانس‌های تئوریک را برآورده می‌کنند اما هرگز روی سخت‌افزار تست نشده‌اند، AI بدترین عادت‌های ابهام آکادمیک را تقویت می‌کند. این سیستم از سنت‌های مکانیکی بهره‌برداری می‌کند که در برابر اقدام جمعی مقاوم هستند.
برای متخصصان، این بدان معناست که FFT استاندارد همچنان معیار طلایی است. نسخه «سریع‌تر» تنها یک شبح ریاضی است؛ در خلأ درست است، اما برای هر کامپیوتری که تا به حال ساخته شده، نامرئی است.
گام بعدی شما
- اگر در زمینه پردازش سیگنال فعالیت می‌کنید، همچنان بر استفاده از کتابخانه‌های استاندارد FFT تکیه کنید و فریب ادعاهای مجانبی را نخورید.
- در بررسی مقالات AI، همیشه به دنبال «ثابت‌های پنهان» (Hidden Constants) و محدودیت‌های سخت‌افزاری باشید.
- تفاوت بین پیچیدگی زمانی تئوریک و کارایی عملی را در منابع علوم کامپیوتر بازخوانی کنید.
اما داستان سخت‌افزاری این تحول حتی شگفت‌انگیزتر است — به تحلیل ما درباره‌ی تراشه‌های Blackwell مراجعه کنید.
گفتگو