تصور کنید تمام تلاش یک عمر پژوهش شما در یک لحظه توسط یک ماشین خودکار شود. این احساس، بیانگر یک غم وجودی است که اکنون در جامعه ریاضی‌دانان موج می‌زند؛ چرا که OpenAI و آزمایشگاه‌های دیگر در حال تولید نتایجی هستند که مسائل سختی را حل می‌کنند که پیش از این برای انسان‌ها دست‌نیافتنی بود. این رشته در حال تجربه تحولی سریع است که پیش از این هرگز دیده نشده بود. مدل‌های زبانی در حال حل مسائلی هستند که پیش‌تر برای انسان‌ها غیرقابل دسترس بود و این امر شکافی ایجاد کرده است که به همان اندازه که فنی است، احساسی نیز هست.
این تنش زمانی شدت گرفت که هوش مصنوعی از محاسبات ساده به سمت حل «مسائل هزاره» حرکت کرد. برای دهه‌ها، اعتبار و پرستیژ ریاضیات بر توانایی انسان در یافتن اثبات برای سخت‌ترین قضایا استوار بود. اکنون این انحصار از بین رفته است و این اتفاق، ریاضی‌دانان را مجبور کرده تا به بازنگری در این موضوع بپردازند که اصلاً چرا انسان‌ها ریاضیات انجام می‌دهند.
همان‌طور که در بحث‌های گذشته ما درباره‌ی امنیت مدل‌های بازمتن اشاره کردیم، هرگاه ابزاری قدرت پیش‌بینی یا حل مسئله را به شدت افزایش می‌دهد، ساختارهای سنتی اعتبار به چالش کشیده می‌شوند. در دنیای ریاضیات، این تغییر شبیه به این است که یک نقاش سال‌ها روی یک تابلوی پیچیده کار کند و ناگهان ببیند یک دوربین عکاسی در یک ثانیه تصویری دقیق‌تر خلق کرده است. این تکامل در مدل‌ها، همزمان با تلاش برای بهینه‌سازی ارتباطات بین شبکه‌های عصبی پیش می‌رود؛ برای مثال، رویکردهای جدیدی برای اتصال مدل‌های AI از طریق تبادل وزن‌ها در حال بررسی است تا هزینه‌های ادغام دانش در مدل‌های مختلف کاهش یابد.
طبق گزارشی از xenaproject.wordpress.com که در ۱ اکتبر ۲۰۲۶ منتشر شد، بسیاری از ریاضی‌دانان در حال تجربه مراحل پنج‌گانه سوگ بر اساس مدل کوبلر-روس هستند: انکار، خشم، چانه زدن، افسردگی و پذیرش. در حال حاضر، چهار مرحله اول به وضوح در جامعه ریاضی‌دانان دیده می‌شوند، که نشان می‌دهد بسیاری در حال سوگواری برای چیزی هستند که آن را محبوب و گران‌بها می‌پنداشتند.
- انکار: انجمن ریاضیات انسانی (Association for Human Mathematics) تلاش می‌کند این رشته را به عنوان یک تلاش صرفاً انسانی در برابر «تهدید هوش مصنوعی» حفظ کند. اعضای این انجمن متعهد شده‌اند که خروجی‌های تولیدشده توسط هوش مصنوعی را منتشر نکنند. برخی از آن‌ها گزینه «بدون هوش مصنوعی» (AI-free) را انتخاب کرده‌اند تا به طور کامل از AI در پژوهش‌ها چشم‌پوشی کنند و متعهد شوند که اثبات‌ها و مثال‌ها را بدون این ابزارها بیابند. انگیزه‌های آن‌ها از نگرانی درباره انضباط علمی ریاضیات تا تأثیرات AI بر سیاره زمین و بشریت متغیر است. یکی از اعضای برجسته این جریان، پیتر شولتزه (Peter Scholze)، برنده مدال فیلدز است. او در یک پنل در هایدلبرگ صراحتاً اعلام کرد که از هوش مصنوعی استفاده نخواهد کرد و گفت: «من روی این تپه خواهم مرد و به عنوان شخصیتی عمومی خواهم بود که در این راه ایستادگی کرد و مرد.»
- خشم: برخی پژوهشگران، مانند ولاد لازیک (Vlad Lazic)، خشم خود را به طور علنی در وب‌سایت «اثبات‌ها و پرامپت‌ها» (proofs and prompts) ابراز کرده‌اند. لازیک و دیگران، این چرخش به سمت AI را تهدیدی برای یکپارچگی و اصالت این رشته می‌بینند. لازیک دیدگاه‌های خود را با جزئیات در سایت شخصی‌اش شرح داده و به ریاضی‌دانان دیگری که احساسات مشابهی دارند، لینک داده است.
- چانه زدن: گروه مشورتی ریاضیات و هوش مصنوعی، یک کمیته مستقل متشکل از ریاضی‌دانان ارشد از جمله سه برنده مدال فیلدز، از آزمایشگاه‌های پیشرو AI خواسته‌اند تا آزمایش مسائل پیشرفته روی مدل‌های اختصاصی و بسته را متوقف کنند. این درخواست در پاسخ به خبرهایی مطرح شد که نشان می‌داد OpenAI «تعداد زیادی از نتایج قابل‌توجه در ریاضیات» را در اختیار دارد که توسط یک مدل داخلی تولید شده‌اند. این گروه از آزمایشگاه‌ها می‌خواهد که نتایج را «به طور مسئولانه» منتشر کنند و بودجه‌ای را برای توسعه درک انسانی از خروجی‌های ریاضی AI اختصاص دهند.
- افسردگی: فشار روانی در محیط‌های دانشگاهی کاملاً مشهود است. یک عضو هیئت علمی که در حوزه سیالات کار می‌کند، اخبار مربوط به معادلات ناویر-استوکس (Navier-Stokes) را «بسیار افسرده‌کننده» توصیف کرد. یک پژوهشگر پسادکترا به دلیل آنچه قرار است این رشته به آن تبدیل شود، به فکر ترک کامل پژوهش‌های ریاضی افتاده است. یک دانشجوی دکترا گزارش داد که پس از آنکه ChatGPT یک لم (Lemma) — که او مدت‌ها روی آن گیر کرده بود — را در یک تلاش (One-shot) حل کرد، از خود پرسید که اصلاً هدف از کار او چیست.
برای بقا در این دوران گذار، بسیاری به دیدگاه ویلیام ترستون روی آورده‌اند. او در مقاله سال ۱۹۹۴ خود با عنوان «درباره اثبات و پیشرفت در ریاضیات» استدلال کرد که ریاضیات درباره «درک عمیق» است، نه فقط یک «شمارش قضایا» (theorem tally). این چارچوب مفهومی پیشنهاد می‌کند که اگرچه AI می‌تواند یک اثبات ارائه دهد، اما لزوماً «بینش» (Insight) ایجاد نمی‌کند. این دیدگاه اکنون چنان مرکزی شده که به عنوان یک نقل‌قول برجسته در وبلاگ ترنس تائو (Terence Tao) ظاهر شده است.
با این حال، این دفاع شکننده است. برخی در شبکه‌های اجتماعی ادعا می‌کنند که ریاضی‌دانان صرفاً در حال «تغییر دادن خط پایان» هستند تا در تلاشی مذبوحانه برای بقا، جایگاه خود را حفظ کنند. تفاوت بین یک قضیه و درک آن در ماهیت خروجی‌های AI برجسته می‌شود. اثبات‌های عمیق تولیدشده توسط AI اغلب با یک فایل PDF بدساخت، یا بدون هیچ PDF-ی، و یا در قالب یک فرمالیزاسیون سرتاسری در زبان Lean ارائه می‌شوند. در حالی که Lean اطمینان فوق‌بشری از صحت اثبات می‌دهد، اما سرنخی درباره اینکه ایده‌ها از کجا آمده‌اند یا ایده‌های جدید در کجای مسیر قرار دارند، ارائه نمی‌کند.
به نقل از پیتر شولتزه، تفاوت بین خروجی و بینش را می‌توان در مثال‌های زیر دید:
- منحنی‌های بیضوی: شولتزه به ساختار Elkies–Klagsbrun برای یک منحنی بیضوی رتبه ۲۹ روی اعداد گویا اشاره می‌کند که شامل یک توضیح هندسی بود. در مقابل، منحنی‌های رتبه ۳۰ و ۳۱ جدید فقط به صورت معادلات ارائه شدند و هیچ چیز دیگری همراهشان نبود. شولتزه خاطرنشان کرد: «ما واقعاً چیزی یاد نگرفتیم».
- قضیه آخر فرمات: اثبات ویلز-تیلور-ویلز فقط یک معمای ۳۵۰ ساله درباره اعداد صحیح مثبت را حل نکرد؛ بلکه بینش‌های عمیقی درباره «برنامه لانگلندز» ارائه داد. پیامدهای این درک هنوز ۳۰ سال بعد احساس می‌شود، همان‌طور که در سخنرانی فرانک کالگاری در ICM سال ۲۰۲۲ مشهود بود.
از سوی دیگر، فلسفه‌های جایگزینی برای ریاضیات وجود دارد. نویسنده به اثر سال ۱۹۴۰ جی. اچ. هاردی با عنوان «عذرخواهی یک ریاضی‌دان» اشاره می‌کند. دیدگاه هاردی اساساً متفاوت است؛ او ریاضیات را به عنوان یک «هنر» می‌بیند. از این منظر، ریاضیات تولیدشده توسط AI با همان خشمی نگریسته می‌شود که هنرمندان نسبت به هنر AI دارند. هاردی نسبت به کسانی که صرفاً «توضیح» می‌دهند تندخو بود و اعتراف کرد که یکی از انگیزه‌های اصلی برای اثبات قضایا، میل به به یاد آورده شدن پس از مرگ است.
اما همه با ترستون موافق نیستند. برخی استدلال می‌کنند که «درک» مفهومی مبهم و مه‌آلود است. نویسنده گزارش مذکور، که تشخیص اوتیسم دارد، اشاره می‌کند که انگیزه او با ترستون متفاوت است. او از فلسفه لانگلندز دلسرد شده بود، جایی که استدلال‌ها اغلب بدون نوشته‌های عمومی، «برای متخصصان شناخته شده» تلقی می‌شوند. این موضوع باعث شد او به فرمالیزاسیون ریاضی با استفاده از Lean روی آورد، زیرا Lean «اثبات از طریق قدرت یا ارعاب» را نمی‌پذیرد.
علاوه بر این، مفهوم «درک انسانی» به چالش کشیده شده است. نویسنده که در اوایل دهه ۱۹۹۰ دانشجوی دکترا نزد ریچارد تیلور بود، توصیه شد که اثبات دلین (Deligne) درباره اتصال نمایش‌های گالوا به فرم‌های پیمانه‌ای را نخواند، زیرا بازه بودجه سه ساله او برای این کار بسیار کوتاه بود. در نتیجه، او هرگز ساختار دلین یا اثبات قضیه لانگلندز-تانل را نخواند، با وجود اینکه این‌ها برای پایان‌نامه و سخنرانی‌های بعدی او حیاتی بودند. این موضوع این پرسش را ایجاد می‌کند: آیا انسان می‌تواند ریاضیاتی را که ناقص یا احتمالاً غلط است «درک» کند؟
در مقابل، تعداد کل قضایای به درستی اثبات‌شده، یک معیار قابل اندازه‌گیری است. این دیدگاه، AI را نه به عنوان جایگزین، بلکه به عنوان ابزاری برای گسترش جهان شناخته‌شده ریاضیات می‌بیند. نویسنده استدلال می‌کند که انسان‌ها حق دارند بدانند چه چیزهایی کشف شده است و پنهان کردن قضایای اثبات‌شده توسط شرکت‌های فناوری را نوعی سانسور می‌نامد. او نامه‌ای باز را امضا کرده است که از OpenAI می‌خواهد مجموعه قضایای خود را در اختیار جهان قرار دهد، با این استدلال که انسان‌ها می‌توانند بعداً ریاضیات را مهندسی معکوس کنند، همان‌طور که در مواردی غیر از ناویر-استوکس دیده شده است.
در مورد آینده، خوش‌بین‌ها معتقدند هوش مصنوعی در نهایت به یک «مرز طبیعی» می‌رسد. در حالی که AI می‌تواند تمام ریاضیات موجود در اینترنت را ببلعد و حوزه‌های پراکنده را ترکیب کند، اما هنوز در برخی وظایف شناختی سطح بالا مشکل دارد. نویسنده یک پرسش مرکزی را مطرح می‌کند: اگر یک انسان به طور همزمان درک تمام ریاضیات محض مدرن را داشت، بلافاصله چقدر بیشتر می‌توانست پیش ببیند؟ ماشین‌ها اکنون با دستکاری داده‌های جذب‌شده به روش‌های منسجم، در حال پاسخ دادن به این پرسش هستند.
قابلیت‌ها و محدودیت‌های AI را می‌توان چنین دسته‌بندی کرد:
- حل مسئله: ماشین‌ها در حال حاضر در این زمینه عالی هستند. برای مثال، ابطال فاصله واحد اردوش (Erdős unit distance) به این دلیل رخ داد که یک ماشین به طور همزمان در هندسه گسسته و نظریه میدان کلاس تخصص داشت — ترکیبی که برای یک انسان واحد بسیار نادر است.
- نظریه‌پردازی: شواهد بسیار کمتری وجود دارد که نشان دهد AI بتواند نظریات جدید ایجاد کند یا چارچوب‌های زیربنایی این رشته را بسازد.
- فرموله کردن حدس‌ها: AI هنوز توانایی قاطعی در تشخیص اینکه قدم بعدی کجا باشد یا فرموله کردن حدس‌های بزرگ بعدی از خود نشان نداده است.
از آنجا که ریاضیات بی‌نهایت است، استدلال می‌شود که منابع محدود نمی‌توانند رشد نمایی AI را برای همیشه حفظ کنند. در حالی که پیشرفت فعلی نمایی است، نویسنده معتقد است که «بی‌نهایت، رشد نمایی را با اختلاف زیاد شکست می‌دهد». کسانی که باور دارند رشد نمایی تا ابد ادامه می‌یابد، صرفاً نمی‌دانند بی‌نهایت چه شکلی است. در نهایت، صرف منابع بیشتر برای جهش‌های بزرگ بعدی توجیه‌پذیر نخواهد بود.
این تغییر، فرض بنیادی این رشته را عوض می‌کند: جایزه دیگر خودِ «اثبات» نیست، بلکه توانایی پیمایش در چشم‌اندازی است که هوش مصنوعی خلق کرده است. تمرکز از «چگونه» اثبات کردن به «کجا» برای حدس بعدی منتقل می‌شود. هدف این است که اجازه دهیم ماشین‌ها مرز را تا جایی که ممکن است پیش ببرند و سپس سفر انسانی را از همان‌جایی شروع کنیم که ماشین متوقف می‌شود. همان‌طور که نویسنده با عبارت «Wir müssen wissen — wir werden wissen!» (باید بدانیم — خواهیم دانست!) نتیجه می‌گیرد، ماجراجویی جدید زمانی آغاز می‌شود که به محدودیت‌های ماشین برسیم.
گام بعدی شما
- بررسی زبان Lean برای کسانی که می‌خواهند بین اثبات‌های ماشینی و درک انسانی پل بزنند.
- مطالعه مقاله ۱۹۹۴ ویلیام ترستون برای بازتعریف مفهوم «پیشرفت» در عصر اتوماسیون.
- دنبال کردن وبلاگ ترنس تائو برای مشاهده نحوه تعامل یک ریاضی‌دان تراز اول با ابزارهای AI.
اما داستان سخت‌افزاری این تحول حتی شگفت‌انگیزتر است — به تحلیل ما درباره‌ی تراشه‌های Blackwell مراجعه کنید.
گفتگو